Nästan alla matematiska objekt kan uttryckas på flera sätt. Till exempel är bråket 2/6 ekvivalent med 5/15 och -4/-12. En kanonisk form är ett specifikt schema som matematiker använder för att beskriva objekt från en given klass på ett kodifierat, unikt sätt. Varje objekt i klassen har en enda kanonisk representation som matchar mallen för den kanoniska formen.
För rationella tal är den kanoniska formen a/b, där a och b inte har några gemensamma faktorer och b är positivt. En sådan bråkdel beskrivs vanligtvis som ”i lägsta termer”. När den sätts i kanonisk form blir 2/6 1/3. Om två bråk är lika i värde är deras kanoniska representationer identiska.
Kanoniska former är inte alltid det vanligaste sättet att beteckna ett matematiskt objekt. Tvådimensionella linjära ekvationer har den kanoniska formen Ax + By + C = 0, där C är antingen 1 eller 0. Ändå använder matematiker ofta lutningsskärningsformen — y = mx + b — när de gör grundläggande beräkningar. Lutningsskärningsformen är inte kanonisk; den kan inte användas för att beskriva linjen x = 4.
Matematiker finner kanoniska former särskilt användbara när de analyserar abstrakta system, där två objekt kan verka markant olika men är matematiskt likvärdiga. Uppsättningen av alla stängda banor på en munk har samma matematiska struktur som uppsättningen av alla ordnade par (a, b) av heltal. En matematiker kan lätt se detta samband om han använder kanoniska former för att beskriva båda mängderna. De två uppsättningarna har samma kanoniska representation, så de är likvärdiga. För att svara på en topologisk fråga om kurvor på en munk kan en matematiker ha lättare att svara på en ekvivalent, algebraisk fråga om ordnade par av heltal.
Många studieområden använder matriser för att beskriva system. En matris definieras av dess individuella poster, men dessa poster förmedlar ofta inte matrisens karaktär. Kanoniska former hjälper matematiker att veta när två matriser är relaterade på något sätt som annars kanske inte är uppenbart.
Booleska algebror, den struktur som logiker använder när de beskriver propositioner, har två kanoniska former: disjunktiv normalform och konjunktiv normalform. Dessa är algebraiskt ekvivalenta med faktorisering eller expansion av polynom respektive. Ett kort exempel illustrerar detta samband.
Rektorn på en gymnasieskola kanske säger: ”Fotbollslaget måste vinna en av sina två första matcher och slå våra rivaler, Hornets, i sin tredje match, annars får tränaren sparken.” Detta påstående kan skrivas logiskt som (w1 + w2) * H + F, där ”+” är den logiska ”eller”-operationen och ”*” är den logiska ”och”-operationen. Den disjunktiva normalformen för detta uttryck är w1 *H + w2 *H + F. Dess konjunktiva normalform för är (w1 + w2 + F) * (H + F). Alla dessa tre uttryck är sanna under exakt samma förhållanden, så de är logiskt likvärdiga.
Ingenjörer och fysiker använder sig också av kanoniska former när de överväger fysiska system. Ibland kommer ett system att vara matematiskt likt ett annat även om de inte ser likadana ut. De differentialmatrisekvationer som används för att modellera den ena kan vara identiska med de som används för att modellera den andra. Dessa likheter blir uppenbara när systemen gjuts i en kanonisk form, såsom observerbar kanonisk form eller kontrollerbar kanonisk form.