Topologi adalah cabang matematika yang berhubungan dengan studi permukaan atau ruang abstrak, di mana kuantitas terukur tidak penting. Karena pendekatan matematika yang unik ini, topologi kadang-kadang disebut sebagai geometri lembaran karet, karena bentuk yang dipertimbangkan dibayangkan ada pada lembaran karet yang dapat diregangkan tanpa batas. Dalam geometri khas, bentuk dasar seperti lingkaran, persegi, dan persegi panjang adalah dasar untuk semua perhitungan, tetapi, dalam topologi, dasar adalah salah satu kontinuitas dan posisi titik relatif terhadap satu sama lain.
Peta topologi dapat memiliki titik-titik yang bersama-sama akan membentuk bentuk geometris seperti segitiga. Kumpulan titik-titik ini dipandang sebagai ruang yang tetap tidak berubah; namun, tidak peduli bagaimana itu dipelintir atau diregangkan, seperti titik-titik pada lembaran karet, itu akan tetap tidak berubah tidak peduli apa bentuknya. Kerangka konseptual semacam ini untuk matematika sering digunakan di area di mana deformasi skala besar atau kecil sering terjadi, seperti sumur gravitasi di ruang angkasa, analisis fisika partikel pada tingkat sub-atom, dan dalam studi struktur biologis seperti mengubah bentuk protein.
Geometri topologi tidak berhubungan dengan ukuran ruang, jadi luas permukaan kubus memiliki topologi yang sama dengan bola, seperti yang dapat dibayangkan seseorang dipelintir untuk bergeser dari satu bentuk ke bentuk lainnya. Bentuk seperti itu yang memiliki fitur identik disebut sebagai homeomorfik. Contoh dua bentuk topologi yang tidak homeomorfik, atau tidak dapat diubah untuk menyerupai satu sama lain, adalah bola dan torus, atau bentuk donat.
Menemukan sifat spasial inti dari ruang yang ditentukan adalah tujuan utama dalam topologi. Sebuah peta topologi set tingkat dasar disebut sebagai set ruang Euclidean. Ruang dikategorikan berdasarkan jumlah dimensinya, di mana garis adalah ruang dalam satu dimensi, dan bidang adalah ruang dalam dua dimensi. Ruang yang dialami oleh manusia disebut sebagai ruang Euclidean tiga dimensi. Kumpulan ruang yang lebih rumit disebut manifold, yang tampak berbeda pada tingkat lokal daripada dalam skala besar.
Teori himpunan dan simpul manifold berusaha menjelaskan permukaan dalam banyak dimensi di luar apa yang dapat dipahami pada tingkat manusia secara literal, dan ruang-ruang terkait dengan invarian aljabar untuk mengklasifikasikannya. Proses teori homotopi ini, atau hubungan antara ruang topologi yang identik, diprakarsai oleh Henri Poincaré, seorang matematikawan Prancis yang hidup dari tahun 1854 hingga 1912. Para matematikawan telah membuktikan karya Poincaré di semua dimensi kecuali tiga, di mana skema klasifikasi lengkap untuk topologi tetap sulit dipahami.