Topologi är en gren av matematiken som handlar om studiet av ytor eller abstrakta rum, där mätbara storheter inte är viktiga. På grund av detta unika tillvägagångssätt för matematik, kallas topologi ibland som gummiskivsgeometri, eftersom formerna som övervägs föreställs existera på oändligt töjbara gummiskivor. I typisk geometri är grundläggande former som cirkeln, kvadraten och rektangeln grunden för alla beräkningar, men i topologi är grunden en av kontinuitet och punkternas position i förhållande till varandra.
En topologisk karta kan ha punkter som tillsammans skulle utgöra en geometrisk form som en triangel. Denna samling av punkter ses som ett utrymme som förblir oförändrat; men oavsett hur den vrids eller sträcks, som spetsarna på en gummiduk, skulle den förbli oförändrad oavsett i vilken form det var. Denna typ av begreppsram för matematik används ofta i områden där stor- eller småskalig deformation ofta förekommer, såsom gravitationsbrunnar i rymden, partikelfysikanalys på subatomär nivå, och i studiet av biologiska strukturer som t.ex. ändra form på proteiner.
Topologins geometri handlar inte om storleken på utrymmen, så en kubs yta har samma topologi som en sfär, eftersom en person kan föreställa sig att de vrids för att skifta från en form till en annan. Sådana former som delar identiska egenskaper kallas homeomorfa. Ett exempel på två topologiska former som inte är homeomorfa, eller inte kan ändras för att likna varandra, är en sfär och en torus, eller munkform.
Att upptäcka de centrala rumsliga egenskaperna hos definierade utrymmen är ett primärt mål inom topologi. En topologisk karta med basnivåuppsättning kallas en uppsättning euklidiska rum. Utrymmen kategoriseras efter deras antal dimensioner, där en linje är ett mellanrum i en dimension och ett plan ett mellanrum i två. Det utrymme som upplevs av människor kallas tredimensionellt euklidiskt rum. Mer komplicerade uppsättningar av utrymmen kallas grenrör, som ser annorlunda ut på lokal nivå än de gör i stor skala.
Mångfaldiga uppsättningar och knutteori försöker förklara ytor i många dimensioner bortom vad som är märkbart på en bokstavlig mänsklig nivå, och utrymmena är kopplade till algebraiska invarianter för att klassificera dem. Denna process av homotopi teori, eller förhållandet mellan identiska topologiska rum, initierades av Henri Poincaré, en fransk matematiker som levde från 1854 till 1912. Matematiker har bevisat Poincarés arbete i alla dimensioner utom tre, där kompletta klassificeringsscheman för topologier förblir svårfångade.