Vad är polära koordinater?

Polära koordinater är en form av att uttrycka position på ett tvådimensionellt plan. Kartesiska koordinater, även kallade rektangulära koordinater, använder ett avstånd i var och en av två dimensioner för att lokalisera en punkt, men polära koordinater använder sig av en vinkel och ett avstånd. Avståndet kallas ibland för radien.
Rektangulära koordinater betecknas typiskt (x,y), där x och y är avstånd längs dessa respektive axlar. På liknande sätt uttrycks polära koordinater som (r,θ). Bokstaven r är avståndet från origo i vinkeln som representeras av den grekiska bokstaven theta, θ, där r kan vara ett positivt eller negativt tal. Om ett negativt avstånd används ändras inte storleken på avståndet, utan riktningen tas motsatt vinkeln θ på andra sidan origo. En punkt i ett polärt koordinatsystem kan hänvisas till som att representera en vektor, med storleken r, en riktning på θ och en riktningskänsla, vilket är tecknet för r.

Översättning mellan rektangulära och polära koordinater kan åstadkommas genom användning av trigonometriska formler. För konvertering från rektangulär till polär kan följande formler användas: θ = tan-1(y/x) och r = √(x2 + y2). För förändringar från polär till rektangulär kan dessa ekvationer användas: x = rcosθ och y = rsinθ.

Polära koordinater tenderar att användas för alla situationer där rektangulära koordinater skulle visa sig vara svåra eller besvärliga att använda, och vice versa. Alla tillämpningar som involverar cirkulär geometri eller radiell rörelse är idealiskt lämpad för polära koordinater, eftersom dessa geometrier kan beskrivas med relativt enkla ekvationer i ett polärt koordinatsystem; deras grafer är mer kurvlinjära eller cirkulära till utseendet jämfört med de på rektangulära koordinatsystem. Som ett resultat har polära koordinater användning för att representera modeller av verkliga fenomen som har liknande rundade former.

Tillämpningarna av polära koordinater är ganska varierande. Polära koordinatgrafer har använts för att modellera ljudfälten som produceras av olika högtalarplatser eller de områden där olika typer av mikrofoner bäst kan fånga upp ljud. Polära koordinater är av stor betydelse för att modellera omloppsrörelser inom astronomi och rymdresor. De är också den grafiska grunden för den berömda Euler-formeln, som regelbundet används i matematik för representation och manipulation av komplexa tal.

Liksom deras rektangulära motsvarigheter behöver polära koordinater inte vara begränsade till endast två dimensioner. För att uttrycka värden i tre dimensioner kan en andra vinkel som representeras av den grekiska bokstaven phi, φ, läggas till i koordinatsystemet. Vilken punkt som helst kan alltså lokaliseras från origo med ett fast avstånd och två vinklar, och den kan tilldelas koordinaterna (r,θ,φ). När denna typ av nomenklatur används för att spåra och lokalisera punkter i tredimensionellt utrymme, betecknas koordinatsystemet som ett sfäriskt koordinatsystem. Denna typ av geometri kallas ibland för att använda polära sfäriska koordinater.

Sfäriska koordinater har faktiskt en välkänd tillämpning – de används för att kartlägga jorden. Vinkeln θ är vanligtvis latituden och är begränsad till mellan minus-90 grader och 90 grader, medan vinkeln φ är longitud och hålls till mellan minus-180 och 180 grader. I denna applikation kan r ibland ignoreras, men det används oftare för att uttrycka höjd över medelhavsnivån.