Pi är den 16:e bokstaven i det grekiska alfabetet, men den är mest känd som den symbol som används för att benämna ett matematiskt förhållande: förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter. Som sådan är det en matematisk konstant och har många användningsområden. Mest uppenbart kan den användas för att beräkna omkretsen av en cirkel från dess diameter och vice versa. Andra exempel är formlerna för att hitta arean av en cirkel och volymen av en sfär. Det representeras ofta av den grekiska formen av bokstaven, π, och ges vanligtvis värdet 3.14; detta är dock bara en uppskattning, och siffran har några fascinerande egenskaper.
Värde
Det exakta värdet på pi kan inte anges. Inget bråk är exakt likvärdigt med det och när det uttrycks som en decimal finns det ett oändligt antal siffror efter decimalkomma. Därför, närhelst det krävs för en beräkning, måste en approximation användas. Det värde som används beror på hur exakt beräkningen behöver vara.
För vissa ändamål är 3.14 acceptabelt, medan för andra kan ett värde korrekt med till exempel åtta decimaler – 3.14159265 – krävas. Inga beräkningar kräver ett värde med mer än 40 decimaler. Många människor har använt datorer för att utföra rekordstora beräkningar av värdet på π; från och med 2013 har det beräknats till 10 biljoner decimaler. Det finns dock ingen tänkbar tillämpning som kräver ett så exakt värde.
du använder
Även om pi definieras i termer av diametern på en cirkel, i matematiska formler, är det normalt radien, representerad av ”r”, som används, så att formeln för en cirkels omkrets är 2πr, eller radien multiplicerad med π gånger två. Andra vanliga matematiska formler som använder π inkluderar följande:
arean av en cirkel — πr2
ytan av en sfär — 4πr2
volymen av en sfär — 4/3πr3
Konstanten används också flitigt i
fysik
, statistik och
teknik
.
Fastigheter
Pi är ett irrationellt tal, vilket betyder att det inte kan uttryckas som ett förhållande, eller bråktal, som involverar två heltal, till exempel 2/5 eller 7/3. Vissa bråk är nära approximationer, till exempel ger 355/113 talet korrekt med 6 decimaler; ett exakt värde kan dock inte erhållas på detta sätt. När irrationella tal uttrycks som decimaler bildar siffrorna efter decimalkomma en oändlig, icke-repeterande sekvens.
Det är också ett transcendentalt tal, vilket betyder att det inte kan vara en rot, eller lösning, till någon algebraisk ekvation med rationella koefficienter. Koefficienterna för en ekvation är helt enkelt talen som prefixer symbolerna; där det inte finns något numeriskt prefix är koefficienten 1. Till exempel, i ekvationen 3x + y = 0, är koefficienterna för x och y 3 respektive 1. Det faktum att pi är transcendental är ett bevis på att det uråldriga problemet med att ”kvaddra cirkeln” – att konstruera en kvadrat med samma area som en cirkel med bara en rak kant och en kompass – är olösligt.
Sekvensen av siffror efter decimaltecknet verkar vara slumpmässig. Många försök har gjorts för att hitta mönster inom detta nummer, men alla har misslyckats. Slumpmässigheten har inte bevisats men från och med 2013 klarar sekvensen, så långt den har beräknats, alla tester för den.
historik
De forntida babylonierna och forntida egyptierna använde båda grova approximationer av π, och beräknade värden lite över 3.1. Arkimedes, den antika grekiske matematikern, fann att värdet låg mellan 223/71 och 22/7. Pi visade sig vara irrationell 1770 av den tyske matematikern Johann Lambert, och 1882 visade fysikern Ferdinand Lindemann att det är ett transcendentalt tal. Under de senaste åren har värdet beräknats till ett ständigt ökande antal decimaler – en trend som ser ut att fortsätta med tillväxten av datorkraft.
Intressanta fakta om π
Om sifferföljden efter decimalkomma i π är slumpmässig betyder det, eftersom den också är oändlig, att varje tänkbar talföljd, oavsett hur lång eller osannolik, måste förekomma någonstans i serien. Faktum är att var och en måste inträffa ett oändligt antal gånger. Siffrorna kan användas för att representera andra tecken, såsom bokstäver i alfabetet och skiljetecken. På så sätt skulle varje tänkbar teckensekvens i teorin kunna hittas inom pi genom att söka igenom ett tillräckligt antal siffror. Dessa sekvenser skulle inkludera Shakespeares kompletta verk, alla kända matematikläroböcker och denna artikel, såväl som en oändlighet av böcker som ännu inte har skrivits.
För att hitta något meningsfullt mer än bara några tecken långt skulle dock krävas beräkningen av pi till ett ofattbart antal decimaler, många storleksordningar större än det nuvarande rekordet. Från och med 2013 är det möjligt för vem som helst, med hjälp av ett enkelt onlineprogram, att söka efter teckensträngar i de första fyra miljarderna siffrorna i π. Sannolikheten att hitta en teckensekvens av en given längd är lätt att beräkna. Till exempel är sannolikheten för att hitta en given tioteckenssekvens i de första fyra miljarderna siffrorna i pi 0.0003 %.
Hittills har inget som verkar meningsfullt hittats i pi. Det finns dock en sekvens av sex på varandra följande 9:or, som börjar på den 762:a siffran. Detta är känt som Feynman-punkten och är uppkallat efter fysikern Richard Feynman. Dess sannolikhet att inträffa så tidigt i sekvensen är 0.0685 %; ändå tros det bara vara en galen händelse.
Många människor har lyckats memorera π till ett stort antal decimaler. Från och med 2013 anses rekordet vara 67,890 14. Datumet 3 mars (även skrivet 14/XNUMX) har utsetts till ”Pi Day” i USA, med olika pi-relaterade aktiviteter som äger rum. Musik baserad på denna konstant har skapats och romaner har skrivits där ordlängderna är siffrorna i π i rätt följd.