Komplexa derivator är beskrivningar av förändringshastigheten för komplexa funktioner, som verkar i värdefält som inkluderar imaginära tal. De berättar för matematiker om beteendet hos funktioner som är svåra att visualisera. Derivatan av en komplex funktion f vid x0, om den finns, ges av gränsen när x närmar sig x0 av (f(x)- f(x0))/(x- x0).
Funktioner associerar värden i ett fält med värden i ett annat fält, vilket är en åtgärd som kallas mappning. När ett eller båda av dessa fält innehåller tal som ingår i fältet för komplexa tal, kallas funktionen för en komplex funktion. Komplexa derivator kommer från komplexa funktioner, men inte varje komplex funktion har en komplex derivata.
De värden som en komplex funktion mappar till och från måste innehålla komplexa tal. Detta är värden som kan representeras av a + bi, där a och b är reella tal och i är kvadratroten ur negativ ett, vilket är ett imaginärt tal. Värdet på b kan vara noll, så alla reella tal är också komplexa tal.
Derivat är förändringshastigheter för funktioner. Generellt är derivatan ett mått på ändringsenheterna över en axel för varje enhet på en annan axel. Till exempel skulle en horisontell linje på en tvådimensionell graf ha en derivata av noll, eftersom för varje enhet av x ändras y-värdet med noll. Momentana derivator, som oftast används, ger förändringshastigheten vid en punkt på kurvan snarare än över ett intervall. Denna derivata är lutningen på den räta linjen som tangerar kurvan vid den önskade punkten.
Derivatan finns dock inte överallt på alla funktioner. Om en funktion har ett hörn i sig, till exempel, finns inte derivatan i hörnet. Detta beror på att derivatan definieras av en gräns, och om derivatan gör ett hopp från ett värde till ett annat, är gränsen obefintlig. En funktion som har derivator sägs vara differentierbar. En förutsättning för differentierbarhet i komplexa funktioner är att de partiella derivatorna, eller derivatorna för varje axel, måste finnas och vara kontinuerliga vid den aktuella punkten.
Komplexa funktioner som har komplexa derivator måste också uppfylla de villkor som kallas Cauchy-Riemann-funktioner. Dessa kräver att de komplexa derivatorna är desamma oavsett hur funktionen är orienterad. Om de villkor som anges av funktionerna är uppfyllda och de partiella derivatorna är kontinuerliga, är funktionen komplex differentierbar.