Vad är integralkalkyl?

Integralkalkyl, även känd som integration, är en av de två grenarna av kalkyl, där den andra är differentiering. Differentiering beskriver hur värdet på en funktion förändras med avseende på dess variabler. Integration är det omvända, eftersom det ger den exakta summeringen av en funktion mellan två värden. Integralkalkyl ger ett exakt sätt att beräkna arean under kurvan för en matematisk funktion. Integration har ett brett spektrum av tillämpningar inom fysik och teknik.

De två pionjärerna inom kalkyl var 17-talets vetenskapsmän Isaac Newton och Gottfried Leibniz. Den matematiska notation som används idag är baserad på Leibniz’ arbete. Även om Newton utan tvekan var en stor vetenskapsman, hade han ett rykte om sig att vara mycket konkurrenskraftig och hämndlysten, och han var ovillig att dela äran med sin tyska samtida. Newton använde sitt betydande inflytande på Royal Society i London för att direkt och indirekt anklaga Leibniz för plagiat. Giltigheten av dessa anklagelser har aldrig verifierats, men kontroversen förstörde Leibniz rykte.

Integration beskrivs bäst i termer av arean under kurvan för en matematisk funktion. Denna yta kan ses som summan av vertikala remsor med samma bredd. Några breda remsor ger ett ungefärligt värde för området; öka antalet remsor genom att minska deras bredd kommer att ge ett allt mer exakt värde för detta område. Integralkalkyl fungerar genom att ta hänsyn till när bredden på dessa remsor närmar sig 0, och därför närmar sig antalet remsor oändlighet. Summeringen av ett oändligt antal oändligt små remsor ger det exakta värdet för området.

Kalkyl används för att beskriva hur en funktion (f) förändras i förhållande till tid (t). Om hastigheten (v) för en partikel definieras av funktionen v = f(t), så kan man räkna ut hur långt den har färdats med hjälp av integration, eftersom detta är lika med arean under kurvan. Avståndet tillryggalagt mellan två distinkta punkter kan hittas med hjälp av en bestämd integral.

Det finns många andra tillämpningar av integralkalkyl – så många att det skulle vara omöjligt att göra en uttömmande lista. Inom fysiken kan den användas för att beräkna det arbete som utförs av en kropp som rör sig i enkel harmonisk rörelse eller för att härleda ekvationer som beskriver gasernas beteende. Civilingenjörer eller mekaniska ingenjörer kan använda integralkalkyl för att analysera vätskors rörelser eller spänningsfördelningarna i rören som bär dessa vätskor. Elektriska ingenjörer använder integralkalkyl för att analysera elektromagnetiska vågformer.