Många ekvationer kan förenklas genom att expandera logaritmer. Termen ”expanderande logaritmer” syftar inte på logaritmer som expanderar utan snarare en process där ett matematiskt uttryck ersätts med ett annat enligt specifika regler. Det finns tre sådana regler. Var och en av dem motsvarar en viss egenskap hos exponenter eftersom att ta en logaritm är den funktionella inversen av exponentiering: log3(9) = 2 eftersom 32= 9.
Den vanligaste regeln för att expandera logaritmer används för att separera produkter. Logaritmen för en produkt är summan av respektive logaritm: loga(x*y) = loga(x) + loga(y). Denna ekvation härleds från formeln ax * ay = ax+y. Det kan utökas till flera faktorer: loga(x*y*z*w) = loga(x) + loga(y) + loga(z) + loga(w).
Att höja ett tal till en negativ potens motsvarar att höja dess reciproka till en positiv potens: 5-2 = (1/5)2 = 1/25. Den ekvivalenta egenskapen för logaritmer är att loga(1/x) = -loga(x). När denna egenskap kombineras med produktregeln ger den en lag för att ta logaritmen för ett förhållande: loga(x/y) = loga(x) – loga(y).
Den sista regeln för att expandera logaritmer relaterar till logaritmen för ett tal upphöjt till en potens. Med hjälp av produktregeln finner man att loga(x2) = loga(x) + loga(x) = 2*loga(x). På liknande sätt, loga(x3) = loga(x) + loga(x) + loga(x) = 3*loga(x). I allmänhet är loga(xn) = n*loga(x), även om n inte är ett heltal.
Dessa regler kan kombineras för att utöka logguttryck av mer komplex karaktär. Till exempel kan man tillämpa den andra regeln på loga(x2y/z), och få uttrycket loga(x2y) – loga(z). Sedan kan den första regeln tillämpas på den första termen, vilket ger loga(x2) + loga(y) – loga(z). Till sist leder tillämpningen av den tredje regeln till uttrycket 2*loga(x) + loga(y) – loga(z).
Att expandera logaritmer gör att många ekvationer kan lösas snabbt. Till exempel kan någon öppna ett sparkonto med $400 US-dollar. Om kontot betalar 2 procent årlig ränta sammansatt månadsvis, kan antalet månader som krävs innan kontot fördubblas i värde hittas med ekvationen 400*(1 + 0.02/12)m = 800. Dividera med 400 avkastning (1 + 0.02/ 12)m = 2. Genom att ta bas-10-logaritmen på båda sidor genereras ekvationen log10(1 + 0.02/12)m = log10(2).
Denna ekvation kan förenklas med hjälp av potensregeln till m*log10(1 + 0.02/12) = log10(2). Att använda en kalkylator för att hitta logaritmerna ger m*(0.00072322) = 0.30102. Man finner när man löser för m att det tar 417 månader för kontot att fördubblas i värde om inga ytterligare pengar sätts in.