Den schweiziska 18-talsmatematikern Leonhard Euler utvecklade två ekvationer som har kommit att kallas Eulers formel. En av dessa ekvationer relaterar antalet hörn, ytor och kanter på en polyeder. Den andra formeln relaterar de fem vanligaste matematiska konstanterna till varandra. Dessa två ekvationer rankades tvåa respektive första, som de mest eleganta matematiska resultaten enligt ”The Mathematical Intelligencer.”
Eulers formel för polyedrar kallas ibland också Euler-Descartes sats. Den anger att antalet ytor, plus antalet hörn, minus antalet kanter på en polyeder alltid är lika med två. Det skrivs som F + V – E = 2. Till exempel har en kub sex ytor, åtta hörn och 12 kanter. Att plugga in i Eulers formel, 6 + 8 – 12 är faktiskt lika med två.
Det finns undantag från denna formel, eftersom den bara gäller för en polyeder som inte skär sig själv. Välkända geometriska former inklusive sfärer, kuber, tetraedrar och oktagoner är alla icke-korsande polyedrar. En skärande polyeder skulle emellertid skapas om någon skulle förena två av hörnen på en icke-korsande polyeder. Detta skulle resultera i att polyedern har samma antal ytor och kanter, men ett hörn färre, så det är uppenbart att formeln inte längre är sann.
Å andra sidan kan en mer allmän version av Eulers formel appliceras på polyedrar som skär sig själva. Denna formel används ofta i topologi, som är studiet av rumsliga egenskaper. I den här versionen av formeln är F + V – E lika med ett tal som kallas Eulers egenskap, som ofta symboliseras av den grekiska bokstaven chi. Till exempel har både den munkformade torusen och Mobius-remsan en Eulers egenskap noll. Eulers egenskap kan också vara mindre än noll.
Den andra Eulers formel innehåller de matematiska konstanterna e, i, Π, 1 och 0. E, som ofta kallas Eulers tal och är ett irrationellt tal som avrundas till 2.72. Det imaginära talet i definieras som kvadratroten ur -1. Pi (Π), förhållandet mellan diametern och omkretsen av en cirkel, är ungefär 3.14 men är liksom e ett irrationellt tal.
Denna formel skrivs som e(i*Π) + 1 = 0. Euler upptäckte att om Π ersatte x i den trigonometriska identiteten e(i*Π) = cos(x) + i*sin(x), var vad vi nu känner som Eulers formel. Förutom att relatera dessa fem grundläggande konstanter, visar formeln också att om man höjer ett irrationellt tal till ett imaginärt irrationellt tal kan det resultera i ett reellt tal.