Ett Mersenne-primtal är ett primtal som är en mindre än en potens av två. Omkring 44 har upptäckts hittills.
Under många år trodde man att alla tal i formen 2n – 1 var primtal. På 16-talet visade dock Hudalricus Regius att 211 – 1 var 2047, med faktorerna 23 och 89. Ett antal andra motexempel visades under de närmaste åren. I mitten av 17-talet publicerade en fransk munk, Marin Mersenne en bok, Cogitata Physica-Mathematica. I den boken sa han att 2n – 1 var primtal för ett n-värde på 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 och 257.
Vid den tiden var det uppenbart att det inte fanns något sätt att han kunde ha testat sanningen i något av de högre siffrorna. Samtidigt kunde hans kamrater inte heller bevisa eller motbevisa hans påstående. I själva verket var det inte förrän ett sekel senare som Euler kunde visa att det första obevisade numret på Mersennes lista, 231 – 1, faktiskt var primtal. Ett sekel senare, i mitten av 19-talet, visades att 2127 – 1 också var prime. Inte långt efter det visades det att 261 – 1 också var primtal, vilket visade att Mersenne hade missat minst ett nummer i sin lista. I början av 20-talet lades ytterligare två nummer till som han hade missat, 289 – 1 och 2107 – 1. Med tillkomsten av datorer blev det mycket lättare att kontrollera om tal var primtal eller inte, och 1947 blev hela utbudet av Mersennes ursprungliga Mersenne primtal hade kontrollerats. Den slutliga listan lade till 61, 89 och 107 till hans lista, och det visade sig att 257 inte var prime.
Icke desto mindre, för hans viktiga arbete med att lägga ut en grund för senare matematiker att arbeta från, gavs hans namn till den uppsättningen siffror. När ett tal på 2n – 1 i själva verket är primtal, sägs det vara ett av Mersennes primtal.
Ett Mersenne-primtal har också ett förhållande till vad som kallas perfekta tal. Perfekta tal har haft en viktig plats i talbaserad mystik i tusentals år. Ett perfekt tal är ett tal n som är lika med summan av dess divisorer, exklusive sig själv. Till exempel är talet 6 ett perfekt tal, eftersom det har divisorerna 1, 2 och 3, och 1+2+3 är också lika med 6. Nästa perfekta tal är 28, med divisorerna 1, 2, 4 , 7 och 14. Nästa hoppar upp till 496, och nästa är 8128. Varje perfekt tal har formen 2n-1(2n – 1), där 2n – 1 också är ett Mersenne-primtal. Detta innebär att när vi hittar ett nytt Mersenne-primtal fokuserar vi också på att hitta nya perfekta tal.
Liksom många siffror av det här slaget blir det svårare att hitta ett nytt Mersenne-primtal när vi går framåt, eftersom talen blir betydligt mer komplexa och kräver mycket mer datorkraft att kontrollera. Till exempel, medan det tionde Mersenne-primtalet, 89, kan kontrolleras snabbt på en hemdator, kommer det tjugonde, 4423, att beskatta en hemdator, och det trettionde, 132049, kräver en stor mängd datorkraft. Det fyrtionde kända Mersennes primtal, 20996011, innehåller mer än sex miljoner enskilda siffror.
Jakten på ett nytt Mersenne-primtal fortsätter, eftersom de spelar en viktig roll i ett antal gissningar och problem. Den kanske äldsta och mest intressanta frågan är om det finns ett udda perfekt tal. Om något sådant existerade skulle det vara delbart med minst åtta primtal och skulle ha minst sjuttiofem primtal. En av dess primtalsdelare skulle vara större än 1020, så det skulle vara ett verkligt monumentalt tal. När datorkraften fortsätter att öka, kommer dock varje nytt Mersenne-primtal att bli lite mindre svårt, och kanske kommer dessa gamla problem så småningom att lösas.