Vad är ett fasutrymme?

Ett fasrum är en abstraktion som fysiker använder för att visualisera och studera system; varje punkt i detta virtuella utrymme representerar ett enda möjligt tillstånd i systemet eller en av dess delar. Dessa tillstånd bestäms vanligtvis av uppsättningen dynamiska variabler som är relevanta för systemets utveckling. Fysiker tycker att fasrymden är särskilt användbar för att analysera mekaniska system, såsom pendlar, planeter som kretsar kring en central stjärna eller massor förbundna med fjädrar. I dessa sammanhang bestäms ett objekts tillstånd av dess position och hastighet eller, ekvivalent, dess position och momentum. Fasutrymme kan också användas för att studera icke-klassiska – och till och med icke-deterministiska – system, såsom de som förekommer inom kvantmekaniken.

En massa som rör sig upp och ner på en fjäder ger ett konkret exempel på ett mekaniskt system som är lämpligt för att illustrera fasutrymme. Massans rörelse bestäms av fyra faktorer: fjäderns längd, fjäderns styvhet, massans vikt och massans hastighet. Endast den första och sista av dessa förändras över tiden, förutsatt att små förändringar i tyngdkraften ignoreras. Således bestäms systemets tillstånd vid varje given tidpunkt enbart av fjäderns längd och massans hastighet.

Om någon drar ner massan kan fjädern sträcka sig till en längd av 10 tum (25.4 cm). När massan släpps är den tillfälligt i vila, så dess hastighet är 0 tum/s. Systemets tillstånd för närvarande kan beskrivas som (10 tum, 0 tum/s) eller (25.4 cm, 0 cm/s).

Massan accelererar först uppåt och saktar sedan ner när fjädern trycks ihop. Massan kan sluta stiga när fjädern är 6 cm lång. I det ögonblicket är massan återigen i vila, så systemets tillstånd kan beskrivas som (15.2 tum, 6 tum/s) eller (0 cm, 15.2 cm/s).

Vid ändpunkterna har massan noll hastighet, så det är inte förvånande att den rör sig snabbast vid halvvägsmärket mellan dem, där fjäderns längd är 8 tum (20.3 cm). Man kan anta att massans hastighet vid den punkten är 4 in/s (10.2 cm/s). När du passerar mittpunkten på väg uppåt kan systemets tillstånd beskrivas som (8 tum, 4 tum/s) eller (20.3 cm, 10.2 cm/s). På vägen ner kommer massan att röra sig i riktning nedåt, så tillståndet för systemet vid den punkten är (8 tum, -4 tum/s) eller (20.3 cm, -10.2 cm/s).

Att plotta dessa och andra tillstånd som systemet upplever producerar en ellips som skildrar systemets utveckling. En sådan graf kallas ett fasdiagram. Den specifika bana genom vilken ett visst system passerar är dess omloppsbana.
Hade massan dragits ner ytterligare i början skulle figuren som spårades ut i fasrymden vara en större ellips. Om massan hade släppts vid jämviktspunkten – den punkt där fjäderkraften exakt upphäver tyngdkraften – skulle massan stanna på plats. Detta skulle vara en enda prick i fasutrymmet. Således kan det ses att banorna för detta system är koncentriska ellipser.
Exemplet massa-på-en-fjäder illustrerar en viktig aspekt av mekaniska system som definieras av ett enda objekt: det är omöjligt för två banor att skära varandra. Variablerna som representerar objektets tillstånd bestämmer dess framtid, så det kan bara finnas en väg in till och en väg ut från varje punkt på dess omloppsbana. Därför kan banor inte korsa varandra. Denna egenskap är mycket användbar för att analysera system som använder fasutrymme.