En jämn funktion definieras som vilken funktion som helst där påståendet f(x) = f(-x) gäller för alla reella värden på x. På motsvarande sätt är en jämn funktion vilken funktion som helst som är definierad för alla reella värden på x och har reflexiv symmetri kring y-axeln. Ojämnhet eller jämnhet hos funktioner är främst till användning i grafiska funktioner.
En funktion är en relation som relaterar elementen från en uppsättning tal — domänen, till elementen i en annan uppsättning — intervallet. Relationen definieras generellt i termer av en matematisk ekvation, där om ett tal från domänen infogas i ekvationen, ges ett enstaka värde från intervallet som svar. Som ett exempel, för funktionen f(x) = 3×2 + 1, när x = 2 är det valda värdet från domänen, f(x) = f(2) = 13. Om domänen och området båda är från uppsättningen av reella tal, kan funktionen plottas genom att plotta varje punkt (x, f(x)), där x-koordinaten är från funktionens domän och y-koordinaten är det matchande värdet från intervallet av funktionen.
Relaterad till begreppet jämn funktion är den udda funktionen. En udda funktion är en där satsen f(x) = -f (-x) för alla reella värden på x. När de plottas har udda funktioner rotationssymmetri runt origo.
Även om majoriteten av funktionerna varken är udda eller jämna, finns det fortfarande ett oändligt antal jämna funktioner. Konstantfunktionen, f(x) = c, där funktionen bara har ett värde oavsett vilket värde från domänen som väljs, är en jämn funktion. Potensfunktionerna, f(x) = xn, är jämna så länge som n är ett jämnt heltal. Bland de trigonometriska funktionerna är cosinus och sekant båda jämna funktioner, liksom de motsvarande hyperboliska funktionerna f(x) = cosh(x) = (ex + ex)/2 och f(x) = sech(x) = 2/ ( ex + ex).
Nya jämna funktioner kan skapas från andra funktioner som är kända för att vara jämna funktioner. Att lägga till eller multiplicera två jämna funktioner skapar en ny jämn funktion. Om en jämn funktion multipliceras med en konstant, blir den resulterande funktionen jämn. Jämna funktioner kan också skapas från udda funktioner. Om två funktioner som är kända för att vara udda, såsom f(x) = x och g(x) = sin(x), multipliceras med varandra, blir den resulterande funktionen, såsom h(x) = x sin(x) jämn .
Nya jämna funktioner kan också skapas genom komposition. En sammansättningsfunktion, såsom h(x) = g(f(x)), är en där utdata från en funktion – i detta fall f(x) – används som indata för den andra funktionen – g(x) ). Om den innersta funktionen är jämn blir den resulterande funktionen även jämn oavsett om den yttre funktionen är jämn, udda eller ingetdera. Exponentialfunktionen g(x) = ex, till exempel, är varken udda eller jämn, men eftersom cosinus är en jämn funktion så är den nya funktionen h(x) = ecos(x).
Ett matematiskt resultat säger att varje funktion som definieras för alla reella tal kan uttryckas som summan av en jämn och en udda funktion. Om f(x) är någon funktion definierad för alla reella tal, är det möjligt att konstruera två nya funktioner, g(x) = (f(x) + f(-x))/2 och h(x) = (f (x) – f(-x))/2. Det följer att g(-x) = (f(-x) + f(x))/2 = (f(x) + f(-x))/2 = g(x) och därför är g(x) en jämn funktion. Likaså h(-x) = (f(-x)-f(x))/2 = – (f(x)-f(-x))/2 = -h(x) så h(x) är per definition en udda funktion. Om funktionerna läggs ihop, g(x) + h (x) = (f(x)+f(-x))/2 + (f(x)-f(-x))/2 = 2 f( x) / 2 = f(x). Därför är varje funktion f(x) summan av en jämn och en udda funktion.