Vad är en determinant?

Matriser är matematiska objekt som transformerar former. Determinanten för en kvadratisk matris A, betecknad |A|, är ett tal som sammanfattar effekten A har på en figurs storlek och orientering. Om [ab] är vektorn på översta raden för A och [cd] är vektorn på den nedre raden, då |A| = ad-bc.
En determinant kodar användbar information om hur en matris transformerar regioner. Det absoluta värdet av determinanten anger skalfaktorn för matrisen, hur mycket den sträcker ut eller krymper en figur. Dess tecken beskriver om matrisen vänder på figurerna, vilket ger en spegelbild. Matriser kan också skeva regioner och rotera dem, men denna information tillhandahålls inte av determinanten.

Aritmetiskt bestäms transformationsverkan av en matris genom matrismultiplikation. Om A är en 2 × 2 matris med översta raden [ab] och nedre raden [cd], då [1 0] * A = [ab] och [0 1] * A = [cd]. Det betyder att A tar punkten (1,0) till punkten (a,b) och punkten (0,1) till punkten (c,d). Alla matriser lämnar origo orört, så man ser att A transformerar triangeln med ändpunkter vid (0,0), (0,1) och (1,0) till en annan triangel med ändpunkter vid (0,0), (a) ,b) och (c,d). Förhållandet mellan denna nya triangels area och den ursprungliga triangelns är lika med |ad-bc|, det absoluta värdet av |A|.

Tecknet för en matris determinant beskriver om matrisen vänder på en form. Med tanke på triangeln med ändpunkter vid (0,0), (0,1) och (1,0), om en matris A håller punkten (0,1) stationär samtidigt som den tar punkten (1,0) till punkten (-1,0), då har den vänt triangeln över linjen x = 0. Eftersom A har vänt siffran, |A| kommer att vara negativ. Matrisen ändrar inte storleken på en region, så |A| måste vara -1 för att överensstämma med regeln att det absoluta värdet av |A| beskriver hur mycket A sträcker en figur.

Matrisaritmetik följer den associativa lagen, vilket betyder att (v*A)*B = v*(A*B). Geometriskt betyder detta att kombinerad verkan av att först transformera en form med matris A och sedan transformera formen med matris B är likvärdig med att transformera den ursprungliga formen med produkten (A*B). Man kan av denna observation sluta sig till att |A|*|B| = |A*B|.

Ekvationen |A| * |B| = |A*B| har en viktig konsekvens när |A| = 0. I det fallet kan handlingen av A inte ångras av någon annan matris B. Detta kan härledas genom att notera att om A och B var inverser, så sträcker eller vänder (A*B) varken någon region, så |A* B| = 1. Eftersom |A| * |B| = |A*B|, denna sista observation leder till den omöjliga ekvationen 0 * |B| = 1.

Det omvända påståendet kan också visas: om A är en kvadratisk matris med en determinant som inte är noll, så har A en invers. Geometriskt är detta verkan av vilken matris som helst som inte plattar ut ett område. Till exempel, att klämma ihop en kvadrat i ett linjesegment kan ångras av någon annan matris, som kallas dess invers. En sådan invers är matrisanalogen till en reciprok.