Böjningspunkten är ett viktigt begrepp i differentialkalkyl. Vid böjningspunkten ändrar kurvan för en funktion sin konkavitet – med andra ord ändras den från negativ till positiv krökning, eller vice versa. Denna punkt kan definieras eller visualiseras på olika sätt. I verkliga tillämpningar där ett system modelleras med hjälp av en kurva, är det ofta avgörande att hitta böjningspunkten för att förutse systemets beteende.
Funktioner i kalkyl kan ritas ut på ett plan som består av en x- och y-axel, som kallas ett kartesiskt plan. I en given funktion ger x-värdet, eller värdet som är inmatningen i ekvationen, en utdata, representerad av y-värdet. När de är grafiska bildar dessa värden en kurva.
En kurva kan vara antingen konkav uppåt eller konkav nedåt, beroende på funktionens beteende över vissa värden. Ett konkavt uppåtriktat område visas på en graf som en skålliknande kurva som öppnar sig uppåt, medan ett konkavt nedåtriktat område öppnar sig nedåt. Den punkt där denna konkavitet ändras är böjningspunkten.
Det finns några olika metoder som kan vara till hjälp för att visualisera var böjningspunkten ligger på en kurva. Om man skulle placera en punkt på kurvan med en rät linje ritad genom den som bara berör kurvan – en tangentlinje – och köra den punkten längs med kurvans lopp, skulle böjningspunkten inträffa vid den exakta punkten där tangenten linje korsar kurvan.
Matematiskt är böjningspunkten den punkt där andraderivatan byter tecken. Den första derivatan av en funktion mäter förändringshastigheten för en funktion när dess indata ändras, och den andra derivatan mäter hur denna förändringshastighet i sig kan förändras. Till exempel representeras en bils hastighet vid ett givet ögonblick av den första derivatan, men dess acceleration – ökande eller minskande hastighet – representeras av den andra derivatan. Om bilen rusar upp är dess andraderivata positiv, men vid den punkt där den slutar att öka hastigheten och börjar sakta ner blir dess acceleration och dess andraderivata negativa. Detta är böjningspunkten.
För att visualisera detta grafiskt är det viktigt att komma ihåg att konkaviteten av en funktions kurva uttrycks av dess andraderivata. En positiv andraderivata indikerar en konkav uppåtgående kurva, och en negativ andraderivata indikerar en kurva som är konkav nedåt. Det är svårt att peka ut den exakta böjningspunkten på en graf, så för applikationer där det är nödvändigt att veta dess exakta värde kan böjningspunkten lösas matematiskt.
En metod för att hitta en funktions böjningspunkt är att ta dess andraderivata, sätta den lika med noll och lösa för x. Inte varje nollvärde i den här metoden kommer att vara en böjningspunkt, så det är nödvändigt att testa värden på vardera sidan av x = 0 för att säkerställa att tecknet för andraderivatan faktiskt ändras. Om det gör det är värdet vid x en böjningspunkt.