Den naturliga logaritmen är logaritmen med basen e. Den skotske matematikern John Napier (1550-1617) uppfann logaritmen. Även om han inte själv introducerade begreppet naturlig logaritm, kallas funktionen ibland för den napierska logaritmen. Den naturliga logaritmen används i många vetenskapliga och tekniska tillämpningar.
John Napier utvecklade namnet ”logaritm” som en kombination av de grekiska orden logos och aritmos. De engelska översättningarna är ”ratio” respektive ”numbers”. Napier tillbringade 20 år med att arbeta med sin teori om logaritmer och publicerade sitt arbete i boken Mirifici Logarithmorum canonis descriptio 1614. Den engelska översättningen av titeln är A Description of the Marvelous Rule of Logarithms.
Den naturliga logaritmen karakteriseras som logaritmen för basen e, som ibland kallas Napiers konstant. Detta nummer är också känt som Eulers nummer. Bokstaven ”e” används för att hedra Leonhard Euler (1707-1783) och användes först av Euler själv i ett brev till Christian Goldbach 1731.
Inversen av den naturliga exponentialfunktionen, definierad som f(x) = ex, är den naturliga logaritmiska funktionen. Denna funktion skrivs som f(x) = ln(x). Samma funktion kan skrivas som f(x) = loge(x), men standardnotationen är f(x) = ln(x).
Domänen för den naturliga logaritmen är (0, oändlighet) och intervallet är (-oändligt, oändligt). Grafen för denna funktion är konkav, vänd nedåt. Själva funktionen är ökande, kontinuerlig och en-till-en.
Den naturliga logaritmen för 1 är lika med 0. Om vi antar att a och b är positiva tal, så är ln(a*b) lika med ln(a) + ln(b) och ln(a/b) = ln(a) – ln(b). Om a och b är positiva tal och n är ett rationellt tal, är ln(an) = n*ln(a). Dessa egenskaper hos naturliga logaritmer är karakteristiska för alla logaritmiska funktioner.
Den faktiska definitionen av den naturliga logaritmiska funktionen kan hittas i integralen av 1/t dt. Integralen är från 1 till x med x > 0. Eulers tal, e, betecknar det positiva reella talet så att integralen av 1/t dt från 1 till e är lika med 1. Eulers tal är ett irrationellt tal och är ungefär lika med till 2.7182818285.
Derivatan av den naturliga logaritmiska funktionen med avseende på x är 1/x. Derivatan med avseende på x av inversen av den logaritmiska funktionen, den naturliga exponentialfunktionen, är överraskande nog den naturliga exponentialfunktionen igen. Den naturliga exponentialfunktionen är med andra ord sin egen derivata.