Binomialkoefficienter definierar antalet kombinationer som är möjliga när man väljer ett visst antal utfall från en uppsättning av en given storlek. De används i binomialsatsen, som är en metod för att expandera ett binomial – en polynomfunktion som innehåller två termer. Pascals triangel, till exempel, består enbart av binomialkoefficienter.
Matematiskt skrivs binomialkoefficienter som två tal vertikalt inriktade inom en uppsättning parenteser. Det översta numret, representerat av ”n”, är det totala antalet möjligheter. Vanligtvis representerat av ”r” eller ”k”, det nedersta numret är antalet oordnade resultat som ska väljas från ”n.” Båda talen är positiva och ”n” är större än eller lika med ”r.”
Binomialkoefficienten, eller antalet sätt som ”r” kan väljas från ”n,” beräknas med hjälp av faktorialer. En faktorial är ett tal gånger det näst minsta talet gånger det näst minsta talet, och så vidare tills formeln når ett. Det representeras matematiskt som n! = n(n – 1)(n – 2)…(1). Nollfaktor är lika med ett.
För en binomial koefficient är formeln n faktoriell (n!) dividerad med produkten av (n – r)! gånger r!, vilket vanligtvis kan reduceras. Om n är 5 och r är 2, till exempel, är formeln 5!/(5 – 2)!2! = (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)). I det här fallet finns 3*2*1 i både täljaren och nämnaren, så det kan tas bort från bråket. Detta resulterar i (5*4)/(2*1), vilket är lika med 10.
Binomialsatsen är ett sätt att beräkna expansionen av en binomial funktion, representerad av (a + b)^n — a plus b till n:te potens; a och b kan vara sammansatta av variabler, konstanter eller båda. För att expandera binomialet är den första termen i expansionen binomialkoefficienten för n och 0 gånger a^n. Den andra termen är den binomiska koefficienten för n och 1 gånger a^(n-1)b. Varje efterföljande term av expansionen beräknas genom att addera 1 till det nedre talet i binomialkoefficienten, höja a till potensen av n minus det talet och höja b till potensen av det talet, fortsätta tills det nedersta talet av koefficienten är lika med n.
Varje tal i Pascals triangel är en binomial koefficient som kan beräknas med hjälp av formeln för binomialkoefficienter. Triangeln börjar med en 1 i den översta punkten, och varje nummer i en nedre rad kan beräknas genom att lägga ihop de två posterna diagonalt ovanför den. Pascals triangel har flera unika matematiska egenskaper — förutom binomialkoefficienter innehåller den även Fibonacci-tal och figurtal.