Teori himpunan merupakan sebagian besar dasar matematika modern, dan diformalkan pada akhir 1800-an. Teori himpunan menjelaskan beberapa ide yang sangat mendasar dan intuitif tentang bagaimana hal-hal yang disebut “elemen” atau “anggota” cocok bersama ke dalam kelompok. Terlepas dari kesederhanaan ide yang tampak, teori himpunan cukup ketat. Dalam upaya untuk menghilangkan semua kesewenang-wenangan dalam teori mereka, matematikawan telah menyempurnakan teori himpunan ke tingkat yang mengesankan selama bertahun-tahun.
Dalam teori himpunan, himpunan adalah sekelompok elemen atau anggota yang terdefinisi dengan baik. Himpunan biasanya dilambangkan dengan huruf kapital yang dicetak miring seperti A atau B. Jika dua himpunan berisi anggota yang sama, mereka dapat ditunjukkan setara dengan tanda sama dengan.
Isi satu set dapat dijelaskan dalam bahasa Inggris sederhana: A = semua mamalia darat. Isi juga dapat dicantumkan dalam tanda kurung: A = {beruang, sapi, babi, dll.} Untuk himpunan besar, elipsis dapat digunakan, di mana pola himpunannya jelas. Misalnya, A = {2, 4, 6, 8… 1000}. Satu jenis himpunan memiliki anggota nol, himpunan tersebut dikenal sebagai himpunan kosong. Ini dilambangkan dengan nol dengan garis diagonal naik dari kiri ke kanan. Meski terlihat sepele, ternyata secara matematis cukup penting.
Beberapa set berisi set lain, oleh karena itu diberi label superset. Himpunan yang terkandung adalah himpunan bagian. Dalam teori himpunan, hubungan ini disebut sebagai “penyertaan” atau “penahanan”, yang dilambangkan dengan notasi seperti huruf U yang diputar 90 derajat ke kanan. Secara grafis, ini dapat direpresentasikan sebagai lingkaran yang terdapat di dalam lingkaran lain yang lebih besar.
Beberapa himpunan umum dalam teori himpunan termasuk N, himpunan semua bilangan asli; Z, himpunan semua bilangan bulat; Q, himpunan semua bilangan rasional; R, himpunan semua bilangan real; dan C, himpunan semua bilangan kompleks.
Ketika dua set tumpang tindih tetapi tidak ada yang sepenuhnya tertanam di dalam yang lain, semuanya disebut penyatuan set. Ini diwakili oleh simbol yang mirip dengan huruf U, tetapi sedikit lebih lebar. Dalam notasi himpunan, AUB berarti “kumpulan elemen yang merupakan anggota A atau B”. Balikkan simbol ini, dan Anda mendapatkan persimpangan A dan B, yang mengacu pada semua elemen yang merupakan anggota dari kedua himpunan. Dalam teori himpunan, himpunan juga dapat “dikurangi” satu sama lain, menghasilkan komplemen. Misalnya, B – A ekuivalen dengan himpunan elemen yang merupakan anggota B tetapi bukan A.
Dari landasan di atas, sebagian besar matematika diturunkan. Hampir semua sistem matematika mengandung sifat-sifat yang dapat dijelaskan secara mendasar dalam istilah teori himpunan.