Setiap ruang yang tidak sepenuhnya datar disebut ruang lengkung. Permukaan bola adalah ruang melengkung, seperti permukaan pelana. Bola adalah contoh kelengkungan positif, artinya jika segitiga dibuat dengan garis lurus di ruang melengkung, sudutnya akan bertambah lebih dari 180 derajat normal. Pelana adalah contoh spasi melengkung negatif. Gravitasi disebabkan oleh kelengkungan ruang — massa melengkungkan ruang, yang memaksa benda-benda untuk menarik bersama.
Teorema Pythagoras sering digunakan untuk memeriksa apakah ruang datar atau melengkung. Rumus matematika ini menggunakan panjang setiap sisi segitiga, bukan sudut. Jika panjangnya sesuai dengan teorema, maka segitiga berada di ruang datar. Jika panjangnya tidak sama persis dengan teorema, maka segitiga tersebut berada dalam ruang lengkung. Sudut sulit diukur pada jarak yang jauh, tetapi mengukur sisi, atau keliling, segitiga dapat dengan mudah menampilkan sifat ruang.
Geometri Euclidean adalah studi tentang bentuk di ruang datar. Ini didasarkan pada daftar informasi dasar, yang disebut aksioma, dan membuktikan banyak konsep matematika seperti Teorema Pythagoras. Aksioma sering dibantah, artinya tidak selalu benar, dalam ruang melengkung, atau geometri non-Euclidean. Semua segitiga memiliki 180 derajat dalam geometri Euclidean, yang mudah dibantah dalam ruang melengkung dengan mengukur setiap sudut dengan busur derajat.
Ruang melengkung memainkan peran penting dalam astronomi modern. Gravitasi dianggap sebagai ruang melengkung yang mengelilingi benda besar yang menyebabkan objek yang lebih kecil mengorbit atau bertabrakan dengan benda besar. Ini tidak ditemukan sampai Einstein menerbitkan Teori Relativitas Umum yang pertama kali menggambarkan gravitasi sebagai ruang melengkung. Sebelum ini, para astronom menghitung orbit secara tidak akurat karena ruang diperlakukan sebagai bentuk Euclidean tiga dimensi. Astronom modern dapat menghitung dan memprediksi lebih banyak dengan ruang non-Euclidean, seperti lubang hitam dan bagaimana galaksi bergerak.
Bahkan bapak fisika, Isaac Newton, menggunakan geometri Euclidean. Itu adalah satu-satunya cara untuk mempelajari bentuk selama lebih dari 2000 tahun. Kemudian, pada akhir abad ke-19, aksioma bahwa garis sejajar tidak pernah berpotongan dibantah oleh Janos Bolyai. Einstein mampu memahami geometri non-Euclidean dan bagaimana hal itu dapat digunakan untuk memprediksi dengan benar orbit aneh Merkurius. Pandangan modern adalah bahwa bentuk Euclidean sejati hanya ada di ruang yang jauh dari benda gravitasi manapun.