Matriks adalah objek matematika yang mengubah bentuk. Determinan matriks persegi A, dilambangkan dengan |A|, adalah bilangan yang merangkum pengaruh A terhadap ukuran dan orientasi bangun. Jika [ab] adalah vektor baris atas untuk A dan [cd] adalah vektor baris bawahnya, maka |A| = ad-bc.
Determinan mengkodekan informasi yang berguna tentang bagaimana matriks mengubah daerah. Nilai absolut dari determinan menunjukkan faktor skala matriks, seberapa besar ia meregangkan atau mengecilkan suatu angka. Tandanya menjelaskan apakah matriks membalik angka, menghasilkan bayangan cermin. Matriks juga dapat memiringkan daerah dan memutarnya, tetapi informasi ini tidak disediakan oleh determinan.
Secara aritmatika, aksi transformasi suatu matriks ditentukan oleh perkalian matriks. Jika A adalah matriks 2 × 2 dengan baris atas [ab] dan baris bawah [cd], maka [1 0] * A = [ab] dan [0 1] * A = [cd]. Artinya A membawa titik (1,0) ke titik (a,b) dan titik (0,1) ke titik (c,d). Semua matriks meninggalkan titik asal tidak bergerak, sehingga terlihat bahwa A mengubah segitiga dengan titik akhir di (0,0), (0,1), dan (1,0) menjadi segitiga lain dengan titik akhir di (0,0), (a ,b), dan (c,d). Rasio luas segitiga baru ini dengan segitiga asli sama dengan |ad-bc|, nilai mutlak |A|.
Tanda determinan matriks menjelaskan apakah matriks membalik suatu bentuk. Mengingat segitiga dengan titik akhir di (0,0), (0,1), dan (1,0), jika matriks A menjaga titik (0,1) tetap saat mengambil titik (1,0) ke titik (-1,0), maka ia membalik segitiga di atas garis x = 0. Karena A membalik gambar, |A| akan negatif. Matriks tidak mengubah ukuran daerah, jadi |A| harus -1 agar konsisten dengan aturan bahwa nilai mutlak |A| menggambarkan berapa banyak A meregangkan angka.
Aritmatika matriks mengikuti hukum asosiatif, artinya (v*A)*B = v*(A*B). Secara geometris, ini berarti bahwa tindakan gabungan untuk pertama-tama mengubah bentuk dengan matriks A dan kemudian mengubah bentuk dengan matriks B sama dengan mengubah bentuk asli dengan produk (A*B). Dari pengamatan ini dapat disimpulkan bahwa |A|*|B| = |A*B|.
Persamaan |A| * |B| = |A*B| memiliki konsekuensi penting ketika |A| = 0. Dalam hal ini aksi A tidak dapat dibatalkan oleh matriks B lainnya. Hal ini dapat disimpulkan dengan mencatat bahwa jika A dan B adalah invers, maka (A*B) tidak meregangkan atau membalik sembarang daerah, jadi |A* B| = 1. Sejak |A| * |B| = |A*B|, pengamatan terakhir ini mengarah ke persamaan mustahil 0 * |B| = 1.
Klaim sebaliknya juga dapat ditunjukkan: jika A adalah matriks bujur sangkar dengan determinan bukan nol, maka A memiliki invers. Secara geometris, ini adalah aksi matriks apa pun yang tidak meratakan suatu wilayah. Misalnya, pemampatan persegi menjadi segmen garis dapat dibatalkan oleh beberapa matriks lain, yang disebut inversnya. Invers semacam itu adalah analog matriks dari kebalikannya.