Turunan kompleks adalah deskripsi laju perubahan fungsi kompleks, yang beroperasi dalam bidang nilai yang mencakup bilangan imajiner. Mereka memberi tahu matematikawan tentang perilaku fungsi yang sulit divisualisasikan. Turunan dari fungsi kompleks f pada x0, jika ada, diberikan oleh limit ketika x mendekati x0 dari (f(x)- f(x0))/(x- x0).
Fungsi mengasosiasikan nilai dalam satu bidang dengan nilai di bidang lain, yang merupakan tindakan yang disebut pemetaan. Jika salah satu atau kedua bidang tersebut berisi bilangan yang merupakan bagian dari bidang bilangan kompleks, fungsi tersebut disebut fungsi kompleks. Turunan kompleks berasal dari fungsi kompleks, tetapi tidak setiap fungsi kompleks memiliki turunan kompleks.
Himpunan nilai yang dipetakan ke dan dari fungsi kompleks harus menyertakan bilangan kompleks. Ini adalah nilai yang dapat diwakili oleh a + bi, di mana a dan b adalah bilangan real dan i adalah akar kuadrat dari bilangan negatif, yang merupakan bilangan imajiner. Nilai b bisa nol, jadi semua bilangan real juga bilangan kompleks.
Turunan adalah laju perubahan fungsi. Umumnya, turunan adalah ukuran satuan perubahan pada satu sumbu untuk setiap satuan sumbu lainnya. Misalnya, garis horizontal pada grafik dua dimensi akan memiliki turunan nol, karena untuk setiap unit x, nilai y berubah nol. Turunan sesaat, yang paling sering digunakan, memberikan laju perubahan pada satu titik pada kurva daripada pada suatu rentang. Turunan ini merupakan kemiringan garis lurus yang bersinggungan dengan kurva pada titik yang diinginkan.
Derivatif, bagaimanapun, tidak ada di mana-mana pada setiap fungsi. Jika suatu fungsi memiliki sudut di dalamnya, misalnya, turunannya tidak ada di sudut. Hal ini karena turunan ditentukan oleh suatu limit, dan jika turunan membuat lompatan dari satu nilai ke nilai lainnya, maka limit tersebut tidak ada. Suatu fungsi yang memiliki turunan dikatakan dapat diturunkan. Satu syarat untuk diferensiasi dalam fungsi kompleks adalah bahwa turunan parsial, atau turunan untuk setiap sumbu, harus ada dan kontinu pada titik yang bersangkutan.
Fungsi kompleks yang memiliki turunan kompleks juga harus memenuhi kondisi yang disebut fungsi Cauchy-Riemann. Ini mensyaratkan bahwa turunan kompleks adalah sama terlepas dari bagaimana fungsi berorientasi. Jika kondisi yang ditentukan oleh fungsi terpenuhi dan turunan parsial kontinu, maka fungsi tersebut terdiferensiasi kompleks.