Bilangan prima Mersenne adalah bilangan prima yang kurang satu dari pangkat dua. Sekitar 44 telah ditemukan hingga saat ini.
Selama bertahun-tahun dianggap bahwa semua bilangan dalam bentuk 2n – 1 adalah bilangan prima. Namun, pada abad ke-16, Hudalricus Regius menunjukkan bahwa 211 – 1 adalah 2047, dengan faktor 23 dan 89. Sejumlah contoh tandingan lainnya ditunjukkan dalam beberapa tahun ke depan. Pada pertengahan abad ke-17, seorang biarawan Prancis, Marin Mersenne menerbitkan sebuah buku, Cogitata Physica-Mathematica. Dalam buku tersebut, ia menyatakan bahwa 2n – 1 adalah bilangan prima untuk nilai n dari 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, dan 257.
Pada saat itu, jelas tidak mungkin dia bisa menguji kebenaran dari angka-angka yang lebih tinggi. Pada saat yang sama, rekan-rekannya juga tidak bisa membuktikan atau menyangkal pernyataannya. Faktanya, tidak sampai satu abad kemudian Euler mampu menunjukkan bahwa angka pertama yang belum terbukti dalam daftar Mersenne, 231 – 1, sebenarnya adalah bilangan prima. Seabad kemudian, pada pertengahan abad ke-19, ditunjukkan bahwa 2127 – 1 juga prima. Tidak lama kemudian ditunjukkan bahwa 261 – 1 juga prima, menunjukkan bahwa Mersenne telah melewatkan setidaknya satu nomor dalam daftarnya. Pada awal abad ke-20 ditambahkan dua angka lagi yang dia lewatkan, 289 – 1 dan 2107 – 1. Dengan munculnya komputer, pemeriksaan apakah bilangan prima atau tidak menjadi jauh lebih mudah, dan pada tahun 1947 seluruh jajaran Mersenne asli Mersenne bilangan prima telah diperiksa. Daftar terakhir menambahkan 61, 89, dan 107 ke daftarnya, dan ternyata 257 sebenarnya bukan bilangan prima.
Meskipun demikian, untuk pekerjaannya yang penting dalam meletakkan dasar bagi matematikawan selanjutnya untuk bekerja, namanya diberikan kepada kumpulan angka itu. Bila bilangan 2n – 1 sebenarnya adalah bilangan prima, dikatakan sebagai salah satu bilangan prima Mersenne.
Sebuah bilangan prima Mersenne juga memiliki hubungan dengan apa yang dikenal sebagai bilangan sempurna. Angka sempurna memiliki tempat penting dalam mistisisme berbasis angka selama ribuan tahun. Bilangan sempurna adalah bilangan n yang sama dengan jumlah pembaginya, tidak termasuk dirinya sendiri. Misalnya, angka 6 adalah bilangan sempurna, karena memiliki pembagi 1, 2, dan 3, dan 1+2+3 juga sama dengan 6. Bilangan sempurna berikutnya adalah 28, dengan pembagi 1, 2, 4 , 7, dan 14. Angka berikutnya melompat ke 496, dan berikutnya adalah 8128. Setiap bilangan sempurna memiliki bentuk 2n-1(2n – 1), di mana 2n – 1 juga merupakan bilangan prima Mersenne. Artinya, dalam mencari bilangan prima Mersenne baru, kita juga fokus mencari bilangan sempurna baru.
Seperti banyak bilangan semacam ini, menemukan bilangan prima Mersenne baru semakin sulit seiring dengan kemajuan kita, karena bilangan menjadi jauh lebih kompleks, dan membutuhkan lebih banyak daya komputasi untuk memeriksanya. Misalnya, sementara bilangan prima Mersenne kesepuluh, 89, dapat diperiksa dengan cepat di komputer rumah, nomor dua puluh, 4423, akan membebani komputer rumah, dan nomor tiga puluh, 132049 membutuhkan daya komputasi yang besar. Bilangan prima Mersenne keempat puluh yang diketahui, 20996011 berisi lebih dari enam juta digit individu.
Pencarian bilangan prima Mersenne baru terus berlanjut, karena mereka memainkan peran penting dalam sejumlah dugaan dan masalah. Mungkin pertanyaan tertua dan paling menarik adalah apakah ada bilangan sempurna ganjil. Jika hal seperti itu ada, itu harus dapat dibagi oleh setidaknya delapan bilangan prima, dan setidaknya memiliki tujuh puluh lima faktor prima. Salah satu pembagi utamanya akan lebih besar dari 1020, jadi itu akan menjadi angka yang benar-benar monumental. Karena daya komputasi terus meningkat, bagaimanapun, setiap bilangan prima Mersenne baru akan menjadi sedikit lebih sulit, dan mungkin masalah kuno ini pada akhirnya akan terpecahkan.