Ahli matematika Swiss abad ke-18 Leonhard Euler mengembangkan dua persamaan yang kemudian dikenal sebagai rumus Euler. Salah satu persamaan ini menghubungkan jumlah simpul, wajah, dan tepi pada polihedron. Rumus lainnya menghubungkan lima konstanta matematika yang paling umum satu sama lain. Kedua persamaan ini masing-masing menempati peringkat kedua dan pertama, sebagai hasil matematika paling elegan menurut “The Mathematical Intelligencer.”
Rumus Euler untuk polihedra kadang-kadang juga disebut teorema Euler-Descartes. Ini menyatakan bahwa jumlah wajah, ditambah jumlah simpul, dikurangi jumlah tepi pada polihedron selalu sama dengan dua. Ditulis sebagai F + V – E = 2. Misalnya, sebuah kubus memiliki enam wajah, delapan simpul, dan 12 rusuk. Memasukkan ke dalam rumus Euler, 6 + 8 – 12, pada kenyataannya, sama dengan dua.
Ada pengecualian untuk rumus ini, karena rumus ini hanya berlaku untuk polihedron yang tidak berpotongan dengan dirinya sendiri. Bentuk geometris yang terkenal termasuk bola, kubus, tetrahedra, dan oktagon semuanya adalah polihedra yang tidak berpotongan. Namun, polihedron yang berpotongan akan dibuat jika seseorang menggabungkan dua simpul dari polihedron yang tidak berpotongan. Ini akan menghasilkan polihedron yang memiliki jumlah wajah dan tepi yang sama, tetapi satu simpul lebih sedikit, jadi jelas bahwa rumusnya tidak lagi benar.
Di sisi lain, versi rumus Euler yang lebih umum dapat diterapkan pada polihedra yang berpotongan sendiri. Rumus ini sering digunakan dalam topologi, yang merupakan studi tentang properti spasial. Dalam versi rumus ini, F + V – E sama dengan angka yang disebut karakteristik Euler, yang sering dilambangkan dengan huruf Yunani chi. Misalnya, torus berbentuk donat dan strip Mobius memiliki karakteristik Euler nol. Karakteristik Euler juga bisa kurang dari nol.
Rumus Euler kedua mencakup konstanta matematika e, i, , 1, dan 0. E, yang sering disebut bilangan Euler dan merupakan bilangan irasional yang dibulatkan menjadi 2.72. Bilangan imajiner i didefinisikan sebagai akar kuadrat dari -1. Pi (Π), hubungan antara diameter dan keliling lingkaran, kira-kira 3.14 tetapi, seperti e, adalah bilangan irasional.
Rumus ini ditulis sebagai e(i*Π) + 1 = 0. Euler menemukan bahwa jika disubstitusi untuk x dalam identitas trigonometri e(i*Π) = cos(x) + i*sin(x), hasilnya adalah apa yang sekarang kita kenal sebagai rumus Euler. Selain menghubungkan kelima konstanta dasar ini, rumus juga menunjukkan bahwa menaikkan bilangan irasional ke pangkat bilangan irasional imajiner dapat menghasilkan bilangan real.