Koefisien binomial menentukan jumlah kombinasi yang mungkin ketika memilih sejumlah hasil tertentu dari satu set ukuran tertentu. Mereka digunakan dalam teorema binomial, yang merupakan metode untuk memperluas binomial — fungsi polinomial yang berisi dua suku. Segitiga Pascal, misalnya, hanya terdiri dari koefisien binomial.
Secara matematis, koefisien binomial ditulis sebagai dua angka yang sejajar secara vertikal dalam satu set tanda kurung. Angka teratas, diwakili oleh “n”, adalah jumlah total kemungkinan. Biasanya diwakili oleh “r” atau “k”, angka bawah adalah jumlah hasil tak berurutan yang akan dipilih dari “n”. Kedua angka tersebut positif, dan “n” lebih besar dari atau sama dengan “r”.
Koefisien binomial, atau banyaknya cara pengambilan “r” dari “n”, dihitung menggunakan faktorial. Faktorial adalah bilangan dikalikan bilangan terkecil berikutnya dikalikan bilangan terkecil berikutnya, dan seterusnya sampai rumus mencapai satu. Hal ini direpresentasikan secara matematis sebagai n! = n(n – 1)(n – 2)…(1). Faktorial nol sama dengan satu.
Untuk koefisien binomial, rumusnya adalah n faktorial (n!) dibagi dengan produk dari (n – r)! kali r!, yang biasanya dapat direduksi. Jika n adalah 5 dan r adalah 2, misalnya, rumusnya adalah 5!/(5 – 2)!2! = (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)). Dalam hal ini, 3*2*1 adalah pembilang dan penyebutnya, sehingga dapat dibatalkan dari pecahan. Ini menghasilkan (5*4)/(2*1), yang sama dengan 10.
Teorema binomial adalah cara untuk menghitung perluasan fungsi binomial, yang diwakili oleh (a + b)^n — a plus b pangkat ke-n; a dan b dapat terdiri dari variabel, konstanta, atau keduanya. Untuk memperluas binomial, suku pertama dalam ekspansi adalah koefisien binomial dari n dan 0 kali a^n. Suku kedua adalah koefisien binomial dari n dan 1 kali a^(n-1)b. Setiap suku selanjutnya dari pemuaian dihitung dengan menambahkan 1 ke bilangan terbawah dalam koefisien binomial, menaikkan a pangkat n dikurangi bilangan itu, dan menaikkan b ke pangkat bilangan itu, terus berlanjut sampai bilangan terbawah koefisien sama n.
Setiap angka dalam segitiga Pascal adalah koefisien binomial yang dapat dihitung menggunakan rumus koefisien binomial. Segitiga dimulai dengan angka 1 di titik teratas, dan setiap angka di baris bawah dapat dihitung dengan menjumlahkan dua entri secara diagonal di atasnya. Segitiga Pascal memiliki beberapa sifat matematika yang unik — selain koefisien binomial, ia juga mengandung angka Fibonacci dan angka figurate.