Hampir semua objek matematika dapat diekspresikan dalam berbagai cara. Misalnya, pecahan 2/6 sama dengan 5/15 dan -4/-12. Bentuk kanonik adalah skema khusus yang digunakan matematikawan untuk menggambarkan objek dari kelas tertentu dengan cara yang terkodifikasi dan unik. Setiap objek di kelas memiliki representasi kanonik tunggal yang cocok dengan templat bentuk kanonik.
Untuk bilangan rasional, bentuk kanoniknya adalah a/b, di mana a dan b tidak memiliki faktor persekutuan dan b positif. Pecahan seperti itu biasanya digambarkan sebagai “dalam istilah terendah.” Ketika dimasukkan ke dalam bentuk kanonik, 2/6 menjadi 1/3. Jika dua pecahan sama nilainya, representasi kanoniknya identik.
Bentuk kanonik tidak selalu merupakan cara paling umum untuk menunjukkan objek matematika. Persamaan linier dua dimensi memiliki bentuk kanonik Ax + By + C = 0, di mana C adalah 1 atau 0. Namun matematikawan sering menggunakan bentuk perpotongan kemiringan — y = mx + b — ketika melakukan perhitungan dasar. Bentuk kemiringan-cegat tidak kanonik; itu tidak dapat digunakan untuk menggambarkan garis x = 4.
Matematikawan menemukan bentuk kanonik sangat berguna ketika menganalisis sistem abstrak, di mana dua objek mungkin tampak sangat berbeda tetapi secara matematis setara. Himpunan semua jalur tertutup pada donat memiliki struktur matematika yang sama dengan himpunan semua pasangan terurut (a, b) bilangan bulat. Seorang ahli matematika dapat melihat hubungan ini dengan mudah jika dia menggunakan bentuk kanonik untuk menggambarkan kedua himpunan. Kedua himpunan memiliki representasi kanonik yang sama, sehingga keduanya setara. Untuk menjawab pertanyaan topologi tentang kurva pada donat, matematikawan mungkin akan lebih mudah menjawab pertanyaan aljabar yang setara tentang pasangan bilangan bulat terurut.
Banyak bidang studi menggunakan matriks untuk menggambarkan sistem. Sebuah matriks didefinisikan oleh entri individu, tetapi entri tersebut sering tidak menyampaikan karakter matriks. Bentuk kanonik membantu ahli matematika mengetahui kapan dua matriks terkait dalam beberapa cara yang mungkin tidak jelas sebaliknya.
Aljabar Boolean, struktur yang digunakan ahli logika ketika menjelaskan proposisi, memiliki dua bentuk kanonik: bentuk normal disjungtif dan bentuk normal konjungtif. Ini secara aljabar setara dengan pemfaktoran atau perluasan polinomial masing-masing. Sebuah contoh singkat menggambarkan hubungan ini.
Kepala sekolah sekolah menengah mungkin berkata, “Tim sepak bola harus memenangkan salah satu dari dua pertandingan pertamanya dan mengalahkan saingan kita, Hornets, di pertandingan ketiganya, atau pelatihnya akan dipecat.” Klaim ini dapat ditulis secara logis sebagai (w1 + w2) * H + F, di mana “+” adalah operasi logis “atau” dan “*” adalah operasi logis “dan”. Bentuk normal disjungtif untuk ekspresi ini adalah w1 *H + w2 *H + F. Bentuk normal penghubungnya adalah (w1 + w2 + F) * (H + F). Ketiga ekspresi ini benar di bawah kondisi yang persis sama, sehingga mereka secara logis setara.
Insinyur dan fisikawan juga menggunakan bentuk kanonik ketika mempertimbangkan sistem fisik. Kadang-kadang satu sistem secara matematis mirip dengan yang lain meskipun mereka tidak tampak sama. Persamaan matriks diferensial yang digunakan untuk memodelkan satu mungkin identik dengan yang digunakan untuk memodelkan yang lain. Kesamaan ini menjadi jelas ketika sistem dicetak dalam bentuk kanonik, seperti bentuk kanonik yang dapat diamati atau bentuk kanonik yang dapat dikontrol.