Dalam matematika, konjugat kompleks adalah pasangan bilangan dua komponen yang disebut bilangan kompleks. Masing-masing bilangan kompleks ini memiliki komponen bilangan real yang ditambahkan ke komponen imajiner. Meskipun nilainya sama, tanda salah satu komponen imajiner dalam pasangan bilangan konjugat kompleks berlawanan dengan tanda yang lain. Meskipun memiliki komponen imajiner, konjugat kompleks digunakan untuk menggambarkan realitas fisik. Penggunaan konjugat kompleks berfungsi meskipun ada komponen imajiner, karena ketika dua komponen dikalikan, hasilnya adalah bilangan real.
Bilangan imajiner didefinisikan sebagai bilangan yang jika dikuadratkan menghasilkan bilangan real negatif. Ini dapat dinyatakan kembali dalam istilah lain untuk penyederhanaan. Bilangan imajiner adalah bilangan real apa pun yang dikalikan dengan akar kuadrat dari satu negatif (-1) — dengan sendirinya tidak dapat dipahami. Dalam bentuk ini, konjugat kompleks adalah pasangan bilangan yang dapat ditulis, y=a+bi dan y=a–bi, di mana “i” adalah akar kuadrat dari -1. Secara formal, untuk membedakan dua nilai y, satu umumnya ditulis dengan bar di atas huruf, , meskipun kadang-kadang tanda bintang digunakan.
Mendemonstrasikan bahwa perkalian dua bilangan konjugasi kompleks menghasilkan hasil nyata, perhatikan sebuah contoh, y=7+2i dan =7–2i. Mengalikan keduanya menghasilkan yӯ=49+14i–14i–4i2=49+4=53. Hasil nyata dari perkalian konjugat kompleks ini penting, terutama dalam mempertimbangkan sistem pada tingkat atom dan sub-atom. Seringkali, ekspresi matematika untuk sistem fisik kecil termasuk komponen imajiner. Disiplin di mana ini sangat penting adalah mekanika kuantum, fisika non-klasik yang sangat kecil.
Dalam mekanika kuantum, karakteristik sistem fisik yang terdiri dari partikel dijelaskan oleh persamaan gelombang. Semua yang harus dipelajari tentang partikel dalam sistemnya dapat diungkapkan oleh persamaan ini. Seringkali, persamaan gelombang menampilkan komponen imajiner. Mengalikan persamaan dengan konjugat kompleksnya menghasilkan “kepadatan probabilitas” yang dapat ditafsirkan secara fisik. Karakteristik partikel dapat ditentukan dengan memanipulasi densitas probabilitas ini secara matematis.
Sebagai contoh, penggunaan densitas probabilitas penting dalam emisi spektral diskrit radiasi dari atom. Penerapan kepadatan probabilitas seperti itu disebut “Probabilitas Lahir”, menurut fisikawan Jerman Max Born. Interpretasi statistik penting yang terkait erat bahwa pengukuran sistem kuantum akan memberikan hasil spesifik tertentu disebut aturan Born. Max Born adalah penerima Hadiah Nobel Fisika 1954 untuk karyanya di bidang ini. Sayangnya, upaya untuk menurunkan aturan Born dari turunan matematika lainnya menemui hasil yang beragam.