Kronecker deltafunktionen, betecknad δi,j, är en binär funktion som är lika med 1 om i och j är lika och annars lika med 0. Även om det tekniskt sett är en funktion av två variabler, används det i praktiken som notationsstenografi, vilket gör att komplicerade matematiska påståenden kan skrivas kompakt. Matematiker, fysiker och ingenjörer som arbetar med linjär algebra, tensoranalys och digital signalbehandling använder Kronecker-deltatfunktionen som ett hjälpmedel för att i en enda ekvation förmedla vad som annars skulle kunna ta flera rader text.
Denna funktion används oftast för att förenkla skrivningen av ekvationer som involverar sigma-notation, vilket i sig är en kortfattad metod för att referera till komplicerade summor. Till exempel, om ett företag har 30 anställda {e1, e2 … e30} och varje anställd arbetar olika antal timmar {h1, h2 … h30} till olika timtaxa {r1, r2 … r30}, det totala utbetalda pengarna till dessa anställda för deras arbete är lika med e1*h1*r1 + e2*h2*r2 + e3*h3*r3 + … e30*h30*r30. Matematiker kan skriva detta kortfattat som ∑i ei*hi*ri.
När fysiker beskriver fysiska system som involverar flera dimensioner, måste fysiker ofta använda dubbla summeringar. De praktiska vetenskapliga tillämpningarna är mycket komplexa, men ett konkret exempel visar hur Kroneckerdeltatfunktionen kan förenkla uttryck i dessa fall.
Det finns tre klädbutiker i en galleria, som var och en säljer ett eget märke. Totalt finns det 20 skjortor: åtta i butik 1, sju i butik 2 och fem i butik 3. Tolv byxstilar finns tillgängliga: fem i butik 1, tre i butik 2 och fyra i butik 3. Man kan köpa 240 möjliga outfits, eftersom det finns 20 alternativ för skjortan och 12 alternativ för byxorna. Varje kombination ger en annan outfit.
Det är inte lika enkelt att beräkna antalet sätt att välja en outfit där skjortan och byxorna kommer från olika butiker. Man kan välja en skjorta från butik 1 och byxor från butik 2 på 8*3 sätt. Det finns 8*4 sätt att välja en skjorta från butik 1 och byxor från butik 3. Om man fortsätter på detta sätt finner man att det totala antalet outfits med artiklar från olika butiker är 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7 *4 + 5*5 + 5*3 = 199.
Man skulle kunna betrakta tillgängligheten av skjortor och byxor som två sekvenser, {s1, s2, s3} = {8, 7, 5} och {p1, p2, p3} = {5, 3, 4}. Sedan låter Kronecker delta-funktionen denna summa skrivas som helt enkelt ∑i ∑jsi * pj * (1- δi,j). Termen (1-δi,j) eliminerar de kläder som består av en skjorta och byxor köpta i samma butik eftersom i så fall i = j, så δi,j = 1 och (1- δi,j) = 0. Multiplicera termen med 0 tar det bort från summan.
Kronecker deltafunktionen används oftast när man analyserar flerdimensionella rum, men den kan också användas när man studerar endimensionella rum, som den reella tallinjen. I det fallet används ofta en variant med enkel ingång: δ(n) = 1 om n = 0; δ(n) = 0 annars. För att se hur Kronecker delta-funktionen kan användas för att förenkla komplexa matematiska påståenden om de reella talen, kan man överväga följande två funktioner vars indata är förenklade bråk:
f(a/b) = a om a =b+1, f(a/b) = -b om b=a+1, och f(a/b) = 0 annars.g(a/b) = a *δ(ab-1) –b*δ(a-b+1)
Funktionerna f och g är identiska, men definitionen för g är mer kompakt och kräver ingen engelska, så den kan förstås av alla matematiker i världen.
Som illustreras av dessa exempel är ingångarna för Kronecker delta-funktionen vanligtvis heltal som är kopplade till någon sekvens av värden. Dirac delta-fördelningen är en kontinuerlig analog av Kronecker-delta-funktionen som används vid integration av funktioner snarare än summering av sekvenser.