I matematik är ett komplext konjugat ett par av tvåkomponenttal som kallas komplexa tal. Vart och ett av dessa komplexa tal har en reell talkomponent som läggs till en imaginär komponent. Även om deras värde är lika, är tecknet för en av de imaginära komponenterna i paret av komplexa konjugerade tal motsatt tecknet för den andra. Trots att de har imaginära komponenter, används komplexa konjugat för att beskriva fysiska verkligheter. Användningen av komplexa konjugat fungerar trots förekomsten av imaginära komponenter, för när de två komponenterna multipliceras med varandra blir resultatet ett reellt tal.
Imaginära tal definieras som alla tal som i kvadrat ger ett verkligt negativt tal. Detta kan omformuleras i andra termer för förenkling. Ett imaginärt tal är vilket reellt tal som helst multiplicerat med kvadratroten ur negativ etta (-1) – i sig självt obegripligt. I denna form är ett komplext konjugat ett par tal som kan skrivas, y=a+bi och y=a–bi, där ”i” är kvadratroten ur -1. Formalistiskt, för att särskilja de två y-värdena, skrivs det ena vanligtvis med ett streck över bokstaven, ӯ, även om en asterisk ibland används.
Om du visar att multiplikation av två komplexa konjugerade tal ger ett reellt resultat, ta ett exempel, y=7+2i och ӯ=7–2i. Att multiplicera dessa två ger yӯ=49+14i–14i–4i2=49+4=53. Ett sådant verkligt resultat från komplex konjugatmultiplikation är viktigt, särskilt när man betraktar system på atomär och subatomär nivå. Ofta innehåller matematiska uttryck för små fysiska system en imaginär komponent. Den disciplin där detta är särskilt viktigt är kvantmekaniken, de mycket smås icke-klassiska fysik.
Inom kvantmekaniken beskrivs egenskaperna hos ett fysiskt system som består av en partikel av en vågekvation. Allt som ska läras om partikeln i dess system kan avslöjas av dessa ekvationer. Ofta har vågekvationer en imaginär komponent. Att multiplicera ekvationen med dess komplexa konjugat resulterar i en fysiskt tolkbar ”sannolikhetstäthet”. Partikelns egenskaper kan bestämmas genom att matematiskt manipulera denna sannolikhetstäthet.
Som exempel är användningen av sannolikhetstäthet viktig i den diskreta spektrala emissionen av strålning från atomer. Sådan tillämpning av sannolikhetstäthet kallas ”Född sannolikhet”, efter den tyske fysikern Max Born. Den viktiga närbesläktade statistiska tolkningen att mätningen av ett kvantsystem kommer att ge vissa specifika resultat kallas Born-regeln. Max Born fick 1954 års Nobelpris i fysik för sitt arbete inom detta område. Tyvärr har försök att härleda Born-regeln från andra matematiska härledningar fått blandade resultat.