Ett sofistikerat fält inom filosofi som undersöker förhållandet mellan matematik och verklighet, matematikens filosofi tittar också på de underliggande antagandena och implikationerna av matematik. Ibland kallas det matematisk filosofi, termen ”matematikens filosofi” är mer exakt, eftersom den tidigare termen har andra betydelser, såsom filosofin som en viss matematiker använder i sina beräkningar. Detta är inte samma sak som att undersöka de underliggande filosofiska grunderna för matematik.
Matematikfilosofi och relaterade områden har funnits i tusentals år, åtminstone sedan antikens grekiska tider. Anhängarna av Pythagoras – pytagoreerna – tänkte djupt på matematik och bildade till och med en sorts kult kring den. Dessa gamla greker tyckte att matematik var ett vackert, självständigt system för att se på världen och praktiskt taget magiskt i sin förutsägelsekapacitet. Denna uppfattning stördes något av upptäckten av irrationalitet – det vill säga siffror som sträcker sig i det oändliga utan att någonsin sluta, som pi och kvadratroten ur två.
De antika grekerna hade andra säregna egenskaper i sin matematikfilosofi. Till exempel tvivlade de på existensen av noll och frågade: ”Hur kan ingenting vara något?” De diskuterade till och med om förekomsten av 1, eller om det var ett verkligt tal. Det var inte förrän det hindu-arabiska siffersystemet som den moderna nollan infördes, inklusive dess funktion som platshållare i slutet av en siffra. Detta var ett steg framåt i matematikfilosofin såväl som dess praktiska tillämpning.
Det finns många skolor för matematikfilosofi. Några samtida exempel inkluderar matematisk realism, intuitionism, konstruktivism, fiktionalism och embodied mind-teorier. Dessa varierar i allmänhet på ett kontinuum beroende på hur abstrakt och evig man tror att matematik är, kontra hur mänskligt kontingent, psykologiskt och pragmatiskt dess användningar och definitioner bör vara. De gamla platonisterna trodde att matematiska former var eviga och oföränderliga, och vi ”upptäcker” nya teorem snarare än att uppfinna dem.
Vissa moderna skolor inom kognitiv psykologi antyder att vår uppfattning om matematik är en unik mänsklig uppfattning, härledd från vår utvecklade känsla för siffror, och att olika föreställningar kan uppstå, till exempel bland utomjordingar med en annan evolutionär historia än vår egen. Idag gör tusentals filosofer sina karriärer inom detta område.