Fungsi delta Kronecker, dilambangkan i,j, adalah fungsi biner yang sama dengan 1 jika i dan j sama dan jika sebaliknya sama dengan 0. Meskipun secara teknis merupakan fungsi dari dua variabel, dalam prakteknya digunakan sebagai singkatan notasi, memungkinkan pernyataan matematika yang rumit untuk ditulis secara kompak. Matematikawan, fisikawan, dan insinyur yang bekerja dalam aljabar linier, analisis tensor, dan pemrosesan sinyal digital menggunakan fungsi delta Kronecker sebagai cara untuk menyampaikan dalam persamaan tunggal apa yang mungkin membutuhkan beberapa baris teks.
Fungsi ini paling sering digunakan untuk menyederhanakan penulisan persamaan yang melibatkan notasi sigma, yang merupakan metode ringkas untuk merujuk pada jumlah yang rumit. Misalnya, jika sebuah perusahaan memiliki 30 karyawan {e1, e2 … e30}, dan setiap karyawan bekerja dengan jumlah jam yang berbeda {h1, h2 … h30} dengan tarif per jam yang berbeda {r1, r2 … r30}, total uang yang dibayarkan untuk karyawan ini untuk pekerjaan mereka sama dengan e1*h1*r1 + e2*h2*r2 + e3*h3*r3 + … e30*h30*r30. Matematikawan dapat menulis ini secara ringkas sebagai i ei*hi*ri.
Saat menjelaskan sistem fisik yang melibatkan banyak dimensi, fisikawan sering kali harus menggunakan penjumlahan ganda. Aplikasi ilmiah praktis sangat kompleks, tetapi contoh nyata menunjukkan bagaimana fungsi delta Kronecker dapat menyederhanakan ekspresi dalam kasus ini.
Ada tiga toko pakaian di sebuah mal, masing-masing menjual merek yang berbeda. Total 20 model kemeja tersedia: delapan ditawarkan oleh toko 1, tujuh ditawarkan oleh toko 2 dan lima ditawarkan di toko 3. Dua belas model celana tersedia: lima di toko 1, tiga di toko 2 dan empat di toko 3. Seseorang dapat membeli 240 kemungkinan pakaian, karena ada 20 pilihan untuk kemeja dan 12 pilihan untuk celana. Setiap kombinasi menghasilkan pakaian yang berbeda.
Tidaklah mudah untuk menghitung banyaknya cara memilih pakaian yang kemeja dan celananya berasal dari toko yang berbeda. Seseorang dapat memilih kemeja dari toko 1 dan celana dari toko 2 dalam 8*3 cara. Ada 8*4 cara untuk memilih baju dari toko 1 dan celana dari toko 3. Dengan melanjutkan cara ini, diperoleh jumlah total pakaian yang menggunakan barang dari toko yang berbeda adalah 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7 *4 + 5*5 + 5*3 = 199.
Seseorang dapat mempertimbangkan ketersediaan kemeja dan celana sebagai dua urutan, {s1, s2, s3} = {8, 7, 5} dan {p1, p2, p3} = {5, 3, 4}. Kemudian fungsi delta Kronecker memungkinkan jumlah ini ditulis hanya sebagai i jsi * pj * (1- i,j). Suku (1- i,j) menghilangkan pakaian yang terdiri dari kemeja dan celana yang dibeli di toko yang sama karena dalam hal ini i = j, jadi i,j = 1 dan (1- i,j) = 0. Perkalian suku oleh 0 menghapusnya dari jumlah.
Fungsi delta Kronecker paling sering digunakan ketika menganalisis ruang multidimensi, tetapi juga dapat digunakan ketika mempelajari ruang satu dimensi, seperti garis bilangan real. Dalam hal ini, varian input tunggal sering digunakan: (n) = 1 jika n = 0; (n) = 0 sebaliknya. Untuk melihat bagaimana fungsi delta Kronecker dapat digunakan untuk menyederhanakan pernyataan matematika kompleks tentang bilangan real, kita dapat mempertimbangkan dua fungsi berikut yang inputnya adalah pecahan yang disederhanakan:
f(a/b) = a jika a =b+1, f(a/b) = -b jika b=a+1, dan f(a/b) = 0 jika tidak.g(a/b) = a *δ(ab-1) –b*δ(a-b+1)
Fungsi f dan g identik, tetapi definisi untuk g lebih ringkas dan tidak memerlukan bahasa Inggris, sehingga dapat dipahami oleh matematikawan mana pun di dunia.
Seperti yang diilustrasikan oleh contoh-contoh ini, input dari fungsi delta Kronecker biasanya adalah bilangan bulat yang terhubung ke beberapa urutan nilai. Distribusi delta Dirac adalah analog kontinu dari fungsi delta Kronecker yang digunakan saat mengintegrasikan fungsi daripada menjumlahkan barisan.